Mai 15 2009

Zufallsgrößen und deren Wahrscheinlichkeitsverteilung….

So wie versprochen hier jetzt das Handout zu meinen Vortrag über die Zufallsgrößen. Die Aufgabe stammt aus dem Buch, welches als Quelle angegeben ist. Es wurde aber darauf geachtet das kein Text übernommen wird. Ich muss ja auch noch ein Versprechen einlösen und zwar den Link zu Baynado’s-Blog da er mir bei der Varianz geholfen hat.

April 26 2009

Vortrag Zufall und Wahrscheinlichkeit

Heute war ich von der Schule aus in einen Vortrag über Zufall und Wahrscheinlichkeit. Neben einigen Infos zur Entstehung der Wahrscheinlichkeitsrechnung gab es auch Beispiele für die Nutzung von Zufallsexperimenten.

Das erste was ich interessant war ist, dass man mit Zufallsexperimenten Flächen, zwar nur in Circa werten, berechnen kann. Wenn man z.B. weiß wie groß ein bestimmtes Quadrat an Land ist und in diesem Quadrat hat man nun ein eigenes Grundstück das eine komische Form hat 😉 , wo man die Fläche eigentlich nur mit Integralrechnung berechnen kann, kann man auch einen Näherungswert durch Zufallsexperimente ermitteln. Man kann das machen, indem man nun in dieses Quadrat, wo auch das Grundstück drine ist,  1000 „Punkte“ rein wirft und dann schaut, wie viele dieser Punkte in unseren Grundstück gelandet sind. Kommt dabei jetzt raus das 650 Punkte auf dem Grundstück gelandet sind, so haben wir P = 650/1000  das wäre eine Wahrscheinlichkeit von P=0,65 oder 65 Prozent. Diese 65 Prozent sind jetzt die Fläche von Quadrat, welches dein Grundstück einnimmt.

Dann gibt es noch ein Zufallsexperiment mit dessen Hilfe man einen Näherungswert für die Zahl Pi errechnen kann. Und zwar geht es in den Experiment um Dielen und Stöckchen. Das Stöckchen soll auf den Dielenkanten in einen bestimmten Winkel liegen und hier will man nun die Wahrscheinlichkeit ausrechnen. Wenn man nun aber schon die Wahrscheinlichkeit kennt, kann man mithilfe dieser und der Formel, mit welcher man diese Wahrscheinlichkeit errechnet hat, kann man dann die Zahl Pi errechnen. Die Formel ist P = 2 x l / Pi x b (l ist die Länge des Stöckchen und b die Breite der Dielen). Umgestellt wäre es dann Pi=2 x l / P x b.

Ich finde das schon sehr Interessant, da Zufälle ja nicht vorhersagbar sind und man damit soviel rechnen kann.

Aber wie sagte der Präsentator doch so schön, wir müssen die Welt im kleinen betrachten und das was in der Welt im kleinen Abläuft, dass ist durch Zufälle bestimmt.

Übrigens gibt es begleitent zu den Vorträgen noch eine Ausstellung im Technikmuseum  in Berlin, welche sehr Interessant ist. Es geht nicht nur um Zufälle und Wahrscheinlichkeiten, da dies nur ein Vortrag aus einer Vortragsreihe war, sondern um die Mathematik im allgemeinen. Kann man sich ruhig mal anschauen.

April 24 2009

Quantitative und Qualitative Merkmale?

Bestimmte Dinge haben bestimmte Merkmale, welche in der Statistik wichtig sind zu unterscheiden. Es gibt auf der einen Seite die Quantitativen Merkmale, welche sich noch in stetig und diskret unterscheiden. Beispiele dafür sind die Armlänge (quantitativ und stetig) und die Sparanlage(quantitativ und stetig). Auf der anderen Seite gibt es die Qualitativen Merkmale wie die Mathmatikzensur(qualitativ und ordinal) oder die Haarfarbe ( qualitativ und nominal).

Soweit, so gut! Aber wie unterscheide ich das jetzt? Wie ist welches Merkmal definiert? Würde mich hier über eure Denkanstöße freuen.

April 23 2009

Zufallsexperiment

Was versteht man unter einen Zufallsexperiment? Ein Zufallsexperiment wird so genannt wenn es folgende Dinge erfüllt:

  • es müssen mindestens zwei Ergebnisse möglich sein
  • diese Ergebnisse dürfen vor Ablauf des Experimentes nicht vorhersagbar sein
  • es kann prinzipiell in gleicher Weise beliebig oft ablaufen
April 4 2009

Partialbruchzerlegung mittels Koeffizientenvergleich

Letztens hatte ich euch die Partialbruchzerlegung mit Koeffizientenvergleich vorgestellt, da ich es als Vortrag in der Abendschule gehalten hatte. Nun würde ich euch gerne noch die Übungsaufgabe zur Verfügung stellen, die ich dann noch ausgeteilt habe. Die Lösungen könnt ihr dann bei mir Anfordern.

Runterladen könnt ihr die Aufgabe hier als PDF-Datei.

Denkt bitte dran das das Copyright bei mir liegt (Sven Buchien) Ihr dürft die Datei gerne verwenden, auch in Vorträgen und weiß ich wo, aber es wäre schön, wenn ihr dann kurz auf meine Seite hinweißen könntet.

April 1 2009

Partialbruchzerlegung mit Koeffizientenvergleich

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Als erstes müssen wir uns überlegen mit welcher Methode hier gearbeitet wird. Da der Nenner dieser Funktion aus Linearfaktoren besteht, kann man den Bruch sofort in zwei Partialbrüche umwandeln. Der Zähler der neuen Brüche wird

mit Koeffizienten gebildet. Daraus ergibt sich dann:

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Im weiteren Schritt müssen dann die Koeffizienten A und B bestimmt werden.

Dies geschieht, indem ich die oben gebildeten Brüche erst einmal wieder zusammenfast.

Als erste muss der Hauptnenner  gebildet werden, ( am besten schaut ihr noch einmal nach den Bruchrechnungsregeln)  dann wird der Zähler ausgeklammert. Nach dem Ausklammern fasst man die Koeffizienten mit x Anteil und die ohne x zusammen und kann dann, mithilfe der Ausgangsfunktion ein lineares Gleichungssystem erstellen. Hierzu vergleicht man den Zähler mit x Anteil mit der Zahl vor dem x im Zähler von der Ausgangsfunktion. Und den ohne x Anteil mit der Zahl im Zähler ohne x. In diesen Fall wäre das dann:

A + B = 5  / erste Gleichung

-5A + -3B = -17 /zweite Gleichung

Man errechnet nun die beiden Koeffizienten A und B, wobei A in diesen Fall 1 und B=4 ist.  Diese Zahlen setzt man nun für A und B in der zweiten Gleichung von oben ein.

Am Ende ergibt sich dann folgendes Integral, von welchen jetzt die Stammfunktion gebildet wird.

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Berechnet von Abakus und dargestellt von Mathdraw ©

Dies habe ich für einen Vortrag ausgearbeitet den ich in Mathe gehalten habe. Da ich jetzt nicht mehrere Bilder hochladen wollte, habe ich die Funktionen bei Mathdraw zeichnen lassen.

(Vortrag gehalten am 30.01.2009 am Abendgymnasium Prenzlauer Berg in Berlin von mir 😉 )

März 23 2009

Volumenberechnung bei einen Rotationskörper

Nach dem ich heute einen Mathetest geschrieben habe (welchen ich auch wieder versaut habe), habe ich mal folgende Aufgabe berechnet. Und zwar geht es um Volumenberechnung bei einen Rotationskörper. Ohne die Aufgabe zu kennen, nehme ich erst einmal folgenden Ansatz für die Volumenberechnung:

V=Pi x ∫(f(x))²

Findet ihr gleich als erstes noch einmal unten auf dem Bild wo die Aufgabe berechnet ist. Als Ausgang gibt es nun die Funktion k(x)=x+1. Diese wird im Intervall I=[1;3] rotiert. Hierbei entsteht ein Rotationskörper von welchen man das Volumen berechnen kann.

Dieses Ergebnis kann man noch einmal überprüfen, wenn man sich die Formel für die Berechnung des Volumens für den entstanden Rotationskörper aus dem Tafelwerk nimmt. Diese lautet:

V=Pi/3 x h(r2²+ r2 x r1 + r1²)

Dieses ist die Formel für das Volumen einen geraden Kegelstumpfes. Wenn man jetzt eine Grafik von der Funktion machen würde, könnte man die meisten Daten ablesen. Da ich diese aber nicht habe, gebe ich die Daten mal an.

h=2
r1=2
r2=4

Wenn man das alles an einsetzt kommt man auf Ende auf 2/3Pi x 28 und somit auf das Ergebnis 58,64 und somit in etwa auf das selbe wie bei unseren oberen Rechnung.

Februar 27 2009

Nachtrag zur Matheklausur

Die Matheklausur ist doch nicht ganz ein Ausfall geworden. Fünf Noten-Punkte konnte ich doch irgendwie zusammen sammeln und somit ist es eine vier geworden. Das bedeutet, Klausur gerade so bestanden und doch noch eine Chance auf dem Zeugnis insgesamt eine zwei in Mathe zu bekommen.

Februar 25 2009

Integral von e(-x) * sin(x)

Nachdem ich gestern ein paar Probleme hatte, habe ich mich hingesetzt und noch eine zweite Integralrechnung durchgeführt. Das ganze zieht diesmal so aus:

In der Vorletzten Zeile im Bild fehlt eine zwei vor dem Integralzeichen.

Um das ganze nun zu beweisen das es richtig ist, muss man von der Funktion

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die Ableitung bilden. Die 1/2 vor der Klammer kann man erst einmal vernachlässigen, darf sie am Schluss aber nicht vergessen. (Faktorregel). Kommen wir also zu der Funktion zwischen den Klammern. Da ein Minus vorhanden ist, handelt es sich hier um zwei Funktionen und deshalb muss hier die Summenregel angewendet werden. Die Summen-Regel besagt das f'(x) + g'(x) gerechnet werden muss. Alles was in dieser Funktion vor dem Minus ist, ist also f(x) und was hinter dem Minus steht ist g(x). Da ein Minus das ganze trennt, wird das + in der Ableitungsregel zu einen Minus. Um nun von den beiden Funktionen die Ableitungen zu bilden, braucht man die Produkt-Regel. diese besagt (um gleich wieder ein paar neue Funktionen einzuführen 😉 ) das f'(x)=u'(x)*v(x)+u(x)*v'(x) ist. u(x) ist hierbei alles, was bei der Funktion f(x) vor dem mal steht und v(x) alles was dahinter steht. Für g'(x) gilt genau das selbe.

Wenn man diese Ableitungen nun alle durchführt und alles zusammenfast kommt man am Ende auf die Funktion:

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Nun wissen wir aber, dass die zwei vor den Klammern zu viel ist, aber wir haben ja noch einen Drumpf in der Hand und zwar die 1/2 von vorhin, die welche vor der Klammer stand und die wir wegen der Faktorregen erst mal vernachlässigt haben. Rechnen wir nun 1/2 * 2 kommt 1 raus. Nun können wir die Klammern auflösen und kommen wieder auf die Ausgangsgleichung.

Februar 24 2009

Integration von x*ln(x)

Nachdem ich mir Stundenlang den Kopf zerbrochen habe was an meiner Integration falsch ist, habe ich nun verstanden, dass an dieser überhaupt nichts falsch ist. Sie sieht also folgendermaßen aus und stimmt so auch 😉 :

Was viel eher falsch war, war meine Methode die Ableitung zu bilden. Daher konnte ich nie auf die eigentliche Funktion, mit der ich begonnen hatte, zurückkommen. Ich habe mich aber jetzt im Netz mal ein wenig schlauer gemacht und mir die Ableitung bilden lassen. Das ganze ist Schritt für Schritt erklärt und sieht so aus:

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Summe ableiten: (f+g)‘ = f’+g‘
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Produkt ableiten: (f*g)‘ = f’*g+f*g‘
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Quotient ableiten: (f/g)‘ = (f’*g-f*g‘)/g^2
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Potenz ableiten: (f^n)‘ = n*f^(n-1)*f‘
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diff(x,x) = 1
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diff(y,x) = 0
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Tabelle
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Quotient ableiten: (f/g)‘ = (f’*g-f*g‘)/g^2
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Produkt ableiten: (f*g)‘ = f’*g+f*g‘
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diff(y,x) = 0
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Potenz ableiten: (f^n)‘ = n*f^(n-1)*f‘
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diff(x,x) = 1
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diff(y,x) = 0
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Berechnet von Abakus und dargestellt von Mathdraw ©

Für mich ist das bis jetzt auch noch ein wenig weit hergeholt, aber ich werde mir jetzt die Ableitung noch einmal Schritt für Schritt anschauen und üben, damit ich beim nächsten mal nicht wieder Stundenlang versuche mein richtiges Ergebnis zu verbessern.