Svens kleiner Blog

Nicht wegen Geld, nicht wegen Ruhm, nicht wegen Aufmerksamkeit sondern einfach nur so ;-)

Letztens hatte ich euch die Partialbruchzerlegung mit Koeffizientenvergleich vorgestellt, da ich es als Vortrag in der Abendschule gehalten hatte. Nun würde ich euch gerne noch die Übungsaufgabe zur Verfügung stellen, die ich dann noch ausgeteilt habe. Die Lösungen könnt ihr dann bei mir Anfordern.

Runterladen könnt ihr die Aufgabe hier als PDF-Datei.

Denkt bitte dran das das Copyright bei mir liegt (Sven Buchien) Ihr dürft die Datei gerne verwenden, auch in Vorträgen und weiß ich wo, aber es wäre schön, wenn ihr dann kurz auf meine Seite hinweißen könntet.

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Als erstes müssen wir uns überlegen mit welcher Methode hier gearbeitet wird. Da der Nenner dieser Funktion aus Linearfaktoren besteht, kann man den Bruch sofort in zwei Partialbrüche umwandeln. Der Zähler der neuen Brüche wird

mit Koeffizienten gebildet. Daraus ergibt sich dann:

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Im weiteren Schritt müssen dann die Koeffizienten A und B bestimmt werden.

Dies geschieht, indem ich die oben gebildeten Brüche erst einmal wieder zusammenfast.

Als erste muss der Hauptnenner  gebildet werden, ( am besten schaut ihr noch einmal nach den Bruchrechnungsregeln)  dann wird der Zähler ausgeklammert. Nach dem Ausklammern fasst man die Koeffizienten mit x Anteil und die ohne x zusammen und kann dann, mithilfe der Ausgangsfunktion ein lineares Gleichungssystem erstellen. Hierzu vergleicht man den Zähler mit x Anteil mit der Zahl vor dem x im Zähler von der Ausgangsfunktion. Und den ohne x Anteil mit der Zahl im Zähler ohne x. In diesen Fall wäre das dann:

A + B = 5  / erste Gleichung

-5A + -3B = -17 /zweite Gleichung

Man errechnet nun die beiden Koeffizienten A und B, wobei A in diesen Fall 1 und B=4 ist.  Diese Zahlen setzt man nun für A und B in der zweiten Gleichung von oben ein.

Am Ende ergibt sich dann folgendes Integral, von welchen jetzt die Stammfunktion gebildet wird.

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Berechnet von Abakus und dargestellt von Mathdraw ©

Dies habe ich für einen Vortrag ausgearbeitet den ich in Mathe gehalten habe. Da ich jetzt nicht mehrere Bilder hochladen wollte, habe ich die Funktionen bei Mathdraw zeichnen lassen.

(Vortrag gehalten am 30.01.2009 am Abendgymnasium Prenzlauer Berg in Berlin von mir 😉 )