Svens kleiner Blog

Nicht wegen Geld, nicht wegen Ruhm, nicht wegen Aufmerksamkeit sondern einfach nur so ;-)

Nachdem ich gestern ein paar Probleme hatte, habe ich mich hingesetzt und noch eine zweite Integralrechnung durchgeführt. Das ganze zieht diesmal so aus:

In der Vorletzten Zeile im Bild fehlt eine zwei vor dem Integralzeichen.

Um das ganze nun zu beweisen das es richtig ist, muss man von der Funktion

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die Ableitung bilden. Die 1/2 vor der Klammer kann man erst einmal vernachlässigen, darf sie am Schluss aber nicht vergessen. (Faktorregel). Kommen wir also zu der Funktion zwischen den Klammern. Da ein Minus vorhanden ist, handelt es sich hier um zwei Funktionen und deshalb muss hier die Summenregel angewendet werden. Die Summen-Regel besagt das f'(x) + g'(x) gerechnet werden muss. Alles was in dieser Funktion vor dem Minus ist, ist also f(x) und was hinter dem Minus steht ist g(x). Da ein Minus das ganze trennt, wird das + in der Ableitungsregel zu einen Minus. Um nun von den beiden Funktionen die Ableitungen zu bilden, braucht man die Produkt-Regel. diese besagt (um gleich wieder ein paar neue Funktionen einzuführen 😉 ) das f'(x)=u'(x)*v(x)+u(x)*v'(x) ist. u(x) ist hierbei alles, was bei der Funktion f(x) vor dem mal steht und v(x) alles was dahinter steht. Für g'(x) gilt genau das selbe.

Wenn man diese Ableitungen nun alle durchführt und alles zusammenfast kommt man am Ende auf die Funktion:

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Nun wissen wir aber, dass die zwei vor den Klammern zu viel ist, aber wir haben ja noch einen Drumpf in der Hand und zwar die 1/2 von vorhin, die welche vor der Klammer stand und die wir wegen der Faktorregen erst mal vernachlässigt haben. Rechnen wir nun 1/2 * 2 kommt 1 raus. Nun können wir die Klammern auflösen und kommen wieder auf die Ausgangsgleichung.

Nachdem ich mir Stundenlang den Kopf zerbrochen habe was an meiner Integration falsch ist, habe ich nun verstanden, dass an dieser überhaupt nichts falsch ist. Sie sieht also folgendermaßen aus und stimmt so auch 😉 :

Was viel eher falsch war, war meine Methode die Ableitung zu bilden. Daher konnte ich nie auf die eigentliche Funktion, mit der ich begonnen hatte, zurückkommen. Ich habe mich aber jetzt im Netz mal ein wenig schlauer gemacht und mir die Ableitung bilden lassen. Das ganze ist Schritt für Schritt erklärt und sieht so aus:

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Summe ableiten: (f+g)‘ = f’+g‘
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Produkt ableiten: (f*g)‘ = f’*g+f*g‘
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Quotient ableiten: (f/g)‘ = (f’*g-f*g‘)/g^2
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Potenz ableiten: (f^n)‘ = n*f^(n-1)*f‘
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diff(x,x) = 1
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diff(y,x) = 0
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Tabelle
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Quotient ableiten: (f/g)‘ = (f’*g-f*g‘)/g^2
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Produkt ableiten: (f*g)‘ = f’*g+f*g‘
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diff(y,x) = 0
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Potenz ableiten: (f^n)‘ = n*f^(n-1)*f‘
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diff(x,x) = 1
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diff(y,x) = 0
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Berechnet von Abakus und dargestellt von Mathdraw ©

Für mich ist das bis jetzt auch noch ein wenig weit hergeholt, aber ich werde mir jetzt die Ableitung noch einmal Schritt für Schritt anschauen und üben, damit ich beim nächsten mal nicht wieder Stundenlang versuche mein richtiges Ergebnis zu verbessern.