12 August 2009

Definitionsbereich verschiedener Funktionen

Ein wichtiger Punkt der Kurvendiskussion, bei welchen man durch ein wenig Übung schon mal ein paar Punkte in den PrĂŒfungen holen kann, ist der Definitionsbereich. Aber nicht bei jeder Funktionsklasse ist  der Definitionsbereich gleich. Eine ganz-rationale Funktion hat einen anderen Definitionsbereich als eine gebrochen rationale Funktion. Wenn man sich aber ein wenig damit beschĂ€ftigt, so bekommt man schnell einige Dinge heraus, die man dann auswendig lernen kann.

Fangen wir also mit dem leichtesten an. Eine ganz rationale Funktion hat einen Definitionsbereich von D=R, ebenso hat diesen Definitionsbereich auch die Exponentialfunktion, die Sinus- und die Kosinus-Funktion.

Eine Wurzelfunktion hingegen hat schon einen etwas anspruchsvolleren Definitionsbereich. Dazu mĂŒssen wir uns an folgende Grundregel beim Wurzelziehen erinnern. “Wurzeln kann man nur aus positiven Zahlen ziehen. Wenn die Funktion also heißt f(x) = √5x +20 . FĂŒr diese Funktion ist der Definitionsbereich D = {x \ x>= -4}

Wie kommt dieser Definitionsbereich zustande? Nun x muss deswegen grĂ¶ĂŸer oder gleich – 4 sein da 5 x -4 = -20 ist. 20 +20 = 0 und die Wurzel aus 0 ist 0. Wenn x jetzt kleiner als -4 wĂ€re, wĂŒrde unter der Wurzel ein negativer Wert heraus kommen und aus diesem kann man dann keine Wurzel mehr ziehen.

Bei gebrochen-rationalen Funktionen verhĂ€lt es sich Ă€hnlich. Hier muss man aufpassen das im Nenner keine 0 steht, denn irgendwas durch 0 ist nicht Definiert und somit nicht lösbar. Lautet die Funktion also fx= 4x+5/x-8 , kann x nicht den Wert 8 annehmen, da sonst der Nenner des Bruchs 0 werden wĂŒrde. Somit lautet der Definitionsbereich D = R \ {8} .  Das bedeutet das der Definitionsbereich der Funktion die reellen Zahlen aber ohne BerĂŒcksichtigung der Zahl 8.

Einen besonderen Fall stellt jetzt noch die Tangens-Funktion da. Diese kann ich aber nicht wirklich erklĂ€ren, der Definitionsbereich wĂ€re hier D={(2k +1) x PI/2 ; k Element Z} . Wer mir erklĂ€ren kann wie dieser zustande kommt darf dies gerne machen 😉 .

Nun kann eine gebrochen-Rationale Funktion durchaus auch einen Bruch im ZĂ€hler haben. Hier muss dann darauf geachtet werden das man sowohl die Regeln fĂŒr eine Wurzelfunktion und die fĂŒr eine gebrochen-Rationale Funktion anwendet. Der Wert unter der Wurzel darf also nicht negativ werden und der Wert im Nenner darf nicht 0 werden. Das muss man beides im Definitionsbereich beachten. Wenn man das alles anwendet, hat man in den Abi-PrĂŒfungen schon mal ein paar Punkte und in einer PrĂŒfung zĂ€hlt ja jeder Punkt.

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Verfasst 12. August 2009 von Sven in category "Mathe

5 COMMENTS :

  1. By Jens KrĂŒger (1 comments) on

    Hallo Sven,
    ich finde, das hast Du ganz toll erklÀrt!

    Das Setzen der Formeln kann noch verbessert werden, weil man nicht sofort erkennt, wo die Nenner bzw. Radikanken enden.

    Bei der Wurzelfunktion hast Du angegeben: D = {x \ x>= -4}. Wo steht den die das R, welches sonst immer auftauscht?

    Ich vermisse noch eine ErklÀrung der Schreibweise, wenn der Definitionsbereich nicht so einfach ist. Zum Beispiel: Der D ist R ohne den Bereich -2 bis 3 (jeweils inklusive) und ohne den Bereich x>10. Wie gibt man so etwas an?

    Jens

    Antworten
    1. By Teufel100 (666 comments) (Autor) on

      Das Problem ist das ich mir dafĂŒr entweder im Formel Editor Bilder erstellen muss, oder einen gebrĂ€uchlichen Standard suchen muss, aber dank dir fĂŒr deine Kritik, dann weiß ich was ich besser machen muss 😉

  2. By harry (2 comments) on

    sers

    also des mitm tangens is eigentl ganz einfach
    man kann diesn ja als bruch schreiben also sin durch cos und immer wenn der cos null ist dann ist auch die funktion nicht definiert

    Antworten

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