August 12 2009

Definitionsbereich verschiedener Funktionen

Ein wichtiger Punkt der Kurvendiskussion, bei welchen man durch ein wenig Übung schon mal ein paar Punkte in den Prüfungen holen kann, ist der Definitionsbereich. Aber nicht bei jeder Funktionsklasse ist  der Definitionsbereich gleich. Eine ganz-rationale Funktion hat einen anderen Definitionsbereich als eine gebrochen rationale Funktion. Wenn man sich aber ein wenig damit beschäftigt, so bekommt man schnell einige Dinge heraus, die man dann auswendig lernen kann.

Fangen wir also mit dem leichtesten an. Eine ganz rationale Funktion hat einen Definitionsbereich von D=R, ebenso hat diesen Definitionsbereich auch die Exponentialfunktion, die Sinus- und die Kosinus-Funktion.

Eine Wurzelfunktion hingegen hat schon einen etwas anspruchsvolleren Definitionsbereich. Dazu müssen wir uns an folgende Grundregel beim Wurzelziehen erinnern. „Wurzeln kann man nur aus positiven Zahlen ziehen. Wenn die Funktion also heißt f(x) = √5x +20 . Für diese Funktion ist der Definitionsbereich D = {x \ x>= -4}

Wie kommt dieser Definitionsbereich zustande? Nun x muss deswegen größer oder gleich – 4 sein da 5 x -4 = -20 ist. 20 +20 = 0 und die Wurzel aus 0 ist 0. Wenn x jetzt kleiner als -4 wäre, würde unter der Wurzel ein negativer Wert heraus kommen und aus diesem kann man dann keine Wurzel mehr ziehen.

Bei gebrochen-rationalen Funktionen verhält es sich ähnlich. Hier muss man aufpassen das im Nenner keine 0 steht, denn irgendwas durch 0 ist nicht Definiert und somit nicht lösbar. Lautet die Funktion also fx= 4x+5/x-8 , kann x nicht den Wert 8 annehmen, da sonst der Nenner des Bruchs 0 werden würde. Somit lautet der Definitionsbereich D = R \ {8} .  Das bedeutet das der Definitionsbereich der Funktion die reellen Zahlen aber ohne Berücksichtigung der Zahl 8.

Einen besonderen Fall stellt jetzt noch die Tangens-Funktion da. Diese kann ich aber nicht wirklich erklären, der Definitionsbereich wäre hier D={(2k +1) x PI/2 ; k Element Z} . Wer mir erklären kann wie dieser zustande kommt darf dies gerne machen 😉 .

Nun kann eine gebrochen-Rationale Funktion durchaus auch einen Bruch im Zähler haben. Hier muss dann darauf geachtet werden das man sowohl die Regeln für eine Wurzelfunktion und die für eine gebrochen-Rationale Funktion anwendet. Der Wert unter der Wurzel darf also nicht negativ werden und der Wert im Nenner darf nicht 0 werden. Das muss man beides im Definitionsbereich beachten. Wenn man das alles anwendet, hat man in den Abi-Prüfungen schon mal ein paar Punkte und in einer Prüfung zählt ja jeder Punkt.



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Veröffentlicht12. August 2009 von Sven in Kategorie "Mathe

5 COMMENTS :

  1. By Teufel100 (672 comments) (Beitrag Autor) on

    na du 😉 oder zumindest die, die es eventuell gebrauchen könnten 😉

  2. By Jens Krüger (1 comments) on

    Hallo Sven,
    ich finde, das hast Du ganz toll erklärt!

    Das Setzen der Formeln kann noch verbessert werden, weil man nicht sofort erkennt, wo die Nenner bzw. Radikanken enden.

    Bei der Wurzelfunktion hast Du angegeben: D = {x \ x>= -4}. Wo steht den die das R, welches sonst immer auftauscht?

    Ich vermisse noch eine Erklärung der Schreibweise, wenn der Definitionsbereich nicht so einfach ist. Zum Beispiel: Der D ist R ohne den Bereich -2 bis 3 (jeweils inklusive) und ohne den Bereich x>10. Wie gibt man so etwas an?

    Jens

  3. By Teufel100 (672 comments) (Beitrag Autor) on

    Das Problem ist das ich mir dafür entweder im Formel Editor Bilder erstellen muss, oder einen gebräuchlichen Standard suchen muss, aber dank dir für deine Kritik, dann weiß ich was ich besser machen muss 😉

  4. By harry (2 comments) on

    sers

    also des mitm tangens is eigentl ganz einfach
    man kann diesn ja als bruch schreiben also sin durch cos und immer wenn der cos null ist dann ist auch die funktion nicht definiert

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